Estadística cuántica
5.1 Introducción
En mecánica cuántica se pueden calcular los valores esperados de un operador en un estado cualquiera según las fórmulas habituales
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Una manera alternativa de realizar estos cálculos consiste en introducir una operador matriz densidad de forma que los valores esperados se pueden escribir en forma de traza, i.edonde es una base cualquiera del espacio de Hilbert. Si suponemos que la matriz de densidad es un observable (es decir, autoadjunto ) debe admitir una expresión diagonal del tipo
Las constantes se pueden interpretar como la probabilidad de cada estado . La condición de normalización se puede demostrar considerando el valor esperado del operador identidad
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Enequilibrio, la matriz de densidad no debe ser función, pero si debe depender de las variables del sistema. La única constante del movimiento que cumple estas condiciones es el hamiltoniano, es decir
5.2 Colectividades cuánticas
Microcanónica
En la microcanónica cuántica todos los estados deben ser equiprobables i, por tanto, todos los deben ser iguales. Por tanto,
donde es el número de microestados.Sin embargo, estos resultados no nos ayudan a imponer las condiciones de simetría i antisimetría de las funciones de onda, ya que no sabemos cual es la base adecuada del espacio de Hilbert.
Canónica
Definimos la matriz de densidad, por comparación con la probabilidad en la canónica, de la manera siguiente:
Si imponemos la condición de que la traza debe ser igual a la unidad, teniendo en cuentaque los estados propios de la matriz densidad lo son también de la energía, tenemos
de donde
| (5.1) |
que es la misma definición de la función de partición canónica. Sin embargo, continuamos sin poder encontrar la base que implemente las condiciones de coherencia.
Macrocanónica
En este caso, tenemos dos operadores i . Normalmente, el hamiltoniano no afectara al número de partículas, esdecir
i, por tanto, podemos encontrar una base donde los dos toman forma diagonal, i.e
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La matriz densidad vendrá dada por la misma expresión que en la canónica nos da la probabilidad, es decir
i, por tanto, la función de partición macrocanónica toma la forma ya conocida
| (5.2) |
Más adelante veremos que el hecho de tener la libertad del número de partículasnos facilita la introducción de las condiciones de coherencia.
5.3 Sistemas de partículas idénticas
5.3.1 Condiciones de coherencia
Un sistema estará compuesto de partículas idénticas si no existe ningún observable que distinga dos partículas. Esto es lo mismo que decir que el hamiltoniano ha de conmutar con el operador de permutación , es decir
Los estados propios del hamiltoniano lo serántambién del operador de permutación, es decir
Dado que i que la permutación es un operador autoadjunto tenemos
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i, por tanto, los valores propios tendrán modulo unidad. Por ser un operador autoadjunto, tenemos
| (5.3) |
El siguiente teorema nos dice que tipo de partículas cumplen la igualdad con signo positivo y cuales con signo negativo.
Teorema 5.3.1 (conexiónspin-estadística) Llamaremos al spin de cada partícula, tenemos
Bosones:
Son las partículas con spin enero . Sus funciones de onda son simétricas, es decir, cumplen la igualdad 5.3 con signo positivo, i.e
Los bosones siguen la estadística de Bose-Einstein.
Fermiones:
Son las partículas con spin semimpar . Sus funciones de onda son antisimétricas, es decir, cumplen la igualdad 5.3 con signonegativo, i.e
Los fermiones siguen la estadística de Fermi-Dirac.
5.3.2 Principio de exclusión de Pauli para fermiones
Denotaremos, en general, las coordenadas de cada partícula por . Sea la función de onda de un conjunto de fermiones. De la condición de antisimetría tenemos
Si esta última igualdad implica que la función de onda debe ser nula. Dado que no es una solución físicamente…
