Teorema de la divergencia
En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradsky, es un teorema que relaciona la divergencia de un campovectorial con el valor de la integral de superficie del flujo definido por este campo. Es un resultado importante en física, sobre todo en electrostática y en dinámica de fluidos.
Enunciado
Sean ydos subconjuntos abiertos en donde es simplemente conexo y el borde de , es una superficie regular o regular a trozos.
Sea , un campo vectorial de clase , es decir, cuenta con derivadas parciales deprimer orden continuas.
Entonces:
donde los vectores normales a la superficie son exteriores al volumen .
Este resultado es una consecuencia natural del Teorema de Stokes, el cual generaliza el Teoremafundamental del cálculo. El teorema fue enunciado por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1835, pero no fue publicado hasta 1867. Debido a la similitud matemática que tiene el campo eléctricocon otras leyes físicas, el teorema de Gauss puede utilizarse en diferentes problemas de física gobernados por leyes inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, como la gravitación o laintensidad de la radiación. Este teorema recibe el nombre de ley de Gauss y constituye también la primera de las ecuaciones de Maxwell.
Teorema de stokes
El teorema de Stokes puede considerarse comouna versión del teorema de Green para una dimensión más alta. El teorema de Stokes relaciona una integral de superficie sobre una superficie S con una integral de línea alrededor de la curva fronterade S ( que es una curva en el espacio ). La orientación de S induce la orientación positiva de la curva frontera C. Esto significa que si uno camina alrededor de C en sentido positivo entonces lasuperficie siempre estará a la izquierda de uno.
Sea S una superficie orientada y suave a segmentos, que está acotada por una curva frontera C suave a segmentos, cerrada y simple, cuya orientación es…
