Cohete propulsado por agua
Fundamentos físicos
Se ha, estudiado el vaciado de un depósito, suponiendo que esté abierto por arriba.
Vamos a estudiar el vaciado de un depósito de agua que está cerrado por la parte superior mediante una tapa hermética y que contiene aire en su interior a una presión inicial dada.
Este ejemplo va a servir de introducción al estudio del cohete impulsado por agua,un problema interdisciplinar en el que intervienen, tres partes de la Física: Fluidos, Dinámica y Termodinámica.
A medida que se vacía el depósito, el volumen de aire aumenta y la presión disminuye. Supondremos que esta disminución de presión se realiza a temperatura constante, es decir, se trata de un proceso isotérmico.
Fundamentos físicos
En la figura se muestra un depósito que tiene unaaltura H y una sección S1, la sección del orificio de salida en el fondo del depósito es S2, la altura inicial de agua es h0, y la presión del aire en su interior p0.
Se abre la compuerta que cierra el orificio de salida del agua, y se mide la altura h de la columna de agua en función del tiempo t.
Para aplicar el teorema de Bernoulli comparamos dos puntos del fluido. El punto 1 en la interfaseaire-agua y el punto 2 en el orificio de salida.
Sea p1 la presión del aire en el interior del depósito, y v1 la velocidad del agua en el punto 1, y h la altura de agua en el depósito en el instante t. La presión p2 en el orificio de salida es la atmosférica pat y la velocidad del fluido es v2.
Tres son las ecuaciones que describen el comportamiento de este sistema físico
1. Ecuación de continuidadS1v1=S2v2
2. Ecuación de Bernoulli
3. Expansión isotérmica del gas
p0S1(H-h0)=p1S1(H-h)
Altura del fluido en equilibrio
La consecuencia más importante de estas ecuaciones es que el agua deja de salir por el orificio cuando v2 y por tanto v1 sean nulos.
La presión del aire en el interior del depósito será algo menor que la presión atmosférica. La diferencia será la presióncorrespondiente a la columna de agua de altura h.
De las ecuaciones de Bernoulli y de la transformación isoterma
p1+? gh=pat
p0 (H-h0)=p1 (H-h)
Obtenemos la ecuación de segundo grado en h
con dos raíces h1 y h2 . Los valores de las raíces no dependen del área de la sección del depósito S1, ni del orificio S2.
Ejemplo:
* Sea el radio del depósito r1=10 cm
* El radio del orificio r2=0.8 cm
* La alturadel depósito H=50 cm
* La altura inicial de agua en el depósito h0=40 cm
* Si la presión inicial de aire en el depósito es p0=4 atm
Tomando como presión atmosférica pat=101293 Pa, y la densidad del agua ? =1000 kg/m3, y resolviendo la ecuación de segundo grado en h, calculamos la altura del agua en el depósito para la cual deja de salir agua por el orificio.
h1=0.09 m=9 cm, y h2=10.78 m quees mayor que H=0.5 m. Cuando la altura de agua en el depósito alcanza 9 cm deja de salir por el orificio. Calculamos la presión final del aire en el depósito
p1=(101293-1000)(9.8)(0.09)=100411 Pa
Variaci?n de la altura de agua en el dep?sito con el tiempo
Despejamos v1 en el sistema de tres ecuaciones
Para hallar como cambia la altura h del agua en el dep?sito con el tiempo, tenemos en cuentaque,
y se resuelve la integral definida
Dada la dificultad de obtener una expresi?n anal?tica sencilla del comportamiento de la altura h con el tiempo t, el programa interactivo realiza una integraci?n num?rica, resolviendo la ecuaci?n diferencial de primer orden por el m?todo de Runge-Kutta, hasta que se alcanza la altura de equilibrio o se agota el agua del dep?sito.
Caso particular: cuandola presi?n del aire es elevada.
Cuando la presi?n del aire en el interior del dep?sito es mucho mayor que la presi?n atmosf?rica, no se alcanza la altura de equilibrio, toda el agua sale del dep?sito. En este caso, se pueden simplificar bastante las ecuaciones, y se puede encontrar una soluci?n anal?tica, aunque tampoco es muy simple, pero al menos, nos sirve de ejercicio para practicar el…
