1. Defina la composición de transformación lineal.
Sean T1=U?V y T2=V?W transformaciones lineales, ambas sobre un mismo K. Se define la transformación compuesta T2?T2=U?W por:
T2?T1u=T2T1u?u?U
Observación:
Es fácil demostrar que T2?T2=U?W es una transformación lineal.
2. De tres ejemplos de composición de transformación lineal
Considérese las siguientes transformacioneslineales:
a) Ta=R2?R2 definida por Taxy=yx
b) Tb=R3?R2 definida por Tbxyz=xy
c) Tc=R2?R3 definida por Tcxy=x+yx-y0
Ejemplo 1: Ta?Tbxyz
Ta?Tbxyz=TaTbxyz
=Taxy
=yx
Finalmente Ta?Tbxyz=yxEjemplo 2: Tb?Tcxy
Tb?Tcxy=TbTcxy
=Tbx+yx-y0
=x+yx-y
Finalmente Tb?Tcxy=x+yx-y
Ejemplo 3: Tc?Taxy
Tc?Taxy=TcTaxy
=Tcyx
=y+xy-x0
Finalmente Tc?Taxy=y+xy-x0
3. Defina una transformaciónlineal invertible o no regular
Una transformación lineal T:V?W es invertible si existe una transformación lineal T’:W?V con la propiedad T?T’=Iw y T’?T=IV
A la transformación T’ se la llama inversade T
Ejemplo: Sea T:R2?P1X una transformación lineal definida por Tab=bx+a , luego se tiene que T es invertible, ya que existe una transformación lineal T’:P1x?R2 definida por T’ax+b =ba tal queT?T’=IP1x y T’?T=IR2
4. Defina la matriz asociada a una transformación lineal
Sea T:V?W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales V y W de dimensiones finitas. Sea B=V1,V2,…,Vn unabase de V y B’=V1′,V2′,…,Vm’ una base de W.
La matriz A de m×n cuyas columnas son:
TV1B’ , TV2B’ , ……. , TVnB’
Es la única matriz que satisface
TVB’=A.VB
Observación: La matriz A se llama matriz deT con respecto a B y B’. Si V = W y B = B’, A se llama matriz de T con respecto a B
5. Si V=R2 y W=R3; sea B=V11,1 , V21,2 base de V y B’=W11,0,0 , W20,1,0 , W30,0,1 base de W y se defineT:R2?R3 como:
Txy=x+yx-y0
Hallar A=TBB’ [La matriz asociada a la transformación lineal respecto a B y B’]
Solución
Transformamos los vectores de la base B y los expresamos en función de la base…
