TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Estosignifica que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominado análisis matemático ocálculo.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando laintegral indefinida de la función al ser integrada.
Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas, fuegracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.
INTUICIÓNGEOMÉTRICA
El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) ? A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.
Supóngase quese tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representael área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.
Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luegorestando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de “loncha” sería A(x+h) ? A(x).
Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo quecoincide aproximadamente con la “loncha”. Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.
Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) ? A(x) es…
