6.1 Problemas insolubles para la teoría de lenguajes.
Sea el problema P alguna el siguiente problema:
Pacept: ¿Existe un procedimiento efectivo capaz de determinar si una máquina de Turing se detiene sobre alguna cadena? Para demostrar que P alguna no es soluble, comenzaremos suponiendo que lo es, llegando de
esta manera a un absurdo. Este absurdo tendrá lugar debido a que la solubilidad de Palguna implica la solubilidad de Pdet. Expresado de otra manera, demostramos que Pdet se reduce a P alguna.
Demostración:
Supongamos que P alguna es un problema de decisión soluble. Al ser un problema soluble, entonces existe un procedimiento efectivo (o máquina universal de Turing), Alguna, que resuelve Palguna. Alguna toma como datos de entrada la descripción de una máquina de Turing T ydetermina en un tiempo finito si T se detiene sobre alguna cadena o no. Es decir Alguna recibe como entrada (T) y retorna un 1 si T se detiene para alguna cadena, mientras que devuelve la salida 0 si T no se detiene para ninguna cadena.
Construyamos a partir de Alguna, un procedimiento efectivo (o máquina universal de Turing)
Detención
La máquina Detención recibe como entrada un par (T’,?), elproblema Palguna solo tiene como entrada una máquina de Turing, por lo que necesitamos un proceso adicional que combine T’ y ? de manera que las respuestas de Alguna, respondan el problema de la detención. Este proceso adicional se lleva a cabo en la máquina universal ?X que realiza lo siguiente:
a. Recibe como dato de entrada la máquina de Turing T’ y la cadena ?.
b. Construye una máquina deTuring T tal que:
i. Para la cadena ? se comporta como la máquina de Turing T’.
j. Para toda cadena que no sea ? la nueva máquina T nunca se detiene o cicla
indefinidamente.
Combinando las máquinas universales Alguna y ?X, tenemos la máquina universal Detención que tiene el siguiente comportamiento:
1. Detención recibe como entrada el par (T’, ?).
2. La máquina universal Detención utiliza ?X,la cual a partir de T’ y ? construye la nueva máquina de Turing T.
3. La máquina de Turing T obtenida en el paso anterior es ingresada a la máquina universal Alguna.
4. Si la respuesta de Alguna es 1 entonces T se detiene para alguna cadena. De la manera en la que construimos T esa cadena necesariamente es la cadena ? (ya que para el resto sabemos que la máquina siempre cicla) como elcomportamiento de T frente a la cadena ? es el mismo que tiene la máquina T’ entonces podemos afirmar que T’ se detiene sobre ? y que por lo tanto Detención emite un 1
5. Si la respuesta de Alguna es 0 entonces T no se detiene para ninguna cadena. De la manera en la que construimos T la única cadena sobre la que T podía detenerse era ? y que el comportamiento frente a esta cadena era el mismo que el de lamáquina T’. Podemos entonces afirmar, que la máquina de Turing T’ tampoco se detiene frente a la cadena y que por lo tanto la respuesta que emite Detención es igual a 0.
Conclusión:
• La máquina universal Detención retorna 1 (T’ se detiene sobre ?) si Alguna
retorna 1 (T se detiene sobre alguna cadena).
• La máquina universal Detención retorna 0 (T’ no se detiene sobre ?) si Alguna
retorna 0(T se detiene sobre ninguna cadena).
Hemos mostrado como construir la máquina universal Detención que resuelve el
problema de la detención a partir de la máquina universal Alguna que resuelve un problema que supusimos soluble.
Sabemos por hipótesis que el problema de la detención es un problema insoluble, por lo tanto la solución encontrada mediante la máquina universal Detención no puedeexistir. Lo que implica que alguna de sus componentes no puede existir, es decir o bien Alguna, o bien ?X no existe. Como por construcción ?X existe, luego Alguna no puede existir.
Podemos entonces concluir que P alguna es un problema no-soluble.
6.2 Un problema simple insoluble.
Problema Simple Insoluble
Se dice que un problema L1 se reduce en tiempo polinomial determinístico a otro problema…
