3.1 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.
Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,…..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,…..pn., Es decir que sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 +…+ pn=1.
En general, una variablealeatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x)se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Esta función recibe el nombre de función de laprobabilidad.
Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire. Los sucesos elementales del experimento, , , no vienen representados por los números, por lo que casa suceso elemental se le hace corresponder un número real. Así al suceso elemental se le hace corresponder el número “1” y al suceso elemental se le hace corresponder el número “2”.
La variable aleatoriaserá: X = (1,2).
[pic]
Se trata de una variable aleatoria discontinua o discreta, ya que únicamente puede adoptar los valores 1 y 2.
3.2 Función de probabilidad
Una función de probabilidad no es más que la asignación a cada valor de la variable de la probabilidad que le corresponde.
función de probabilidad (también denominada función de masa de probabilidad) es una función que asocia a cadapunto de su espacio muestral X la probabilidad de que ésta lo asuma.
En concreto, si el espacio muestral, E de la variable aleatoria X consta de los puntos x1, x2, …, xk, la función de probabilidad P asociada a X es
[pic]
donde pi es la probabilidad del suceso X = xi.
Por definición de probabilidad,
[pic]
3.3 Distribución Binomial.
Los números fijos n y p se denominanparámetros de la distribucion.
Los parámetros son cantidades numéricas que resumen las características de una distribucion de probabilidad.
Distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
Un experimento de Bernoulli secaracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 – p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte,de hecho, en una distribución de Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:
[pic]
La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.
3.4 Distribución Hipergeométrica
la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sinreemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x ([pic]) elementos de la categoría A en una muestra de n elementos de la población original.
distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a
[pic]
donde N esel tamaño de población, n es el tamaño de la muestra extraída, d es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y x es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación [pic]hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar b elementos de un total a.
El valor esperado…
