Números figurados
Karl Friedrich Gauss, llamado el Príncipe de las Matemáticas, estaba en la escuela cuando su profesor, tal vez con la intención de entretener a los niños mientras trabajaba, propuso a la clase que sumaran todos los números del 1 al 100.
El profesor quedó sorprendido cuando Gauss, que tenía 11 años, dio la respuesta correcta poco después de ser formulada la pregunta.Seguramente, Gauss procedió de la siguiente manera:
[pic] S=101×50=5050
Seguramente conocerás los números triangulares y cuadrados que fueron estudiados por los Pitagóricos en el s. VI a.C.
Números Triangulares:
[pic]
Para los pitagóricos el diez dispuesto en forma triangular (trianón) era una figura sagrada por la que tenían la costumbre de jurar.
Tabla de los números triangulares:
|Nº|1 |2 |3 |4 |
|Nº. mínimo de movimientos |1 |3 |…………………………..| |
| | | |. | |
Metodología.
Comenzar por pocos discos.
Observar que antes de terminar el juego con n discos, hayque hacerlo con n -1, siendo
A n = A n-1 + 1 + A n-1 = 1 + 2 · A n-1 .
Observar que de A1 = 1; A2 = 3; A3 = 7; A4 = 15; A5 = 15; etc, se sigue que An= 2n – 1.
Del hecho de que A n = 1 + 2 · A n-1 se deduce que las diferencia primera será:
D = A n+1 – A n = 1 + 2 A n – A n = 1 + A n que no se hace constante. Puedes estudiar lo que ocurre con las demás diferencias y comprobarás que ocurre lomismo.
Acabamos de exponer dos casos de ecuaciones recurrentes y, en el caso de las torres de Hanoi, hemos hallado una expresión para su término general: An = 2n – 1.
APÉNDICES
Trayecto desde las sucesiones recurrentes a las progresiones geométricas mediante una actividad recreativa debida a Lewis Carroll: El cuadrado evanescente
Se ha dicho que la Geometría es el arte de razonar bien sobrefiguras falsas. (CHASLES, en otro sentido, claro)
En esta paradoja aparente intervienen los números 5, 8 y 13. Si probamos a plantearla con cuadrados de otras dimensiones, comprobaremos que también funciona con los números 8, 13 y 21. Lo anterior huele a los términos de la sucesión de Fibonacci, vista anteriormente, en los que cada uno es la suma de los dos anteriores.
Precisamente, si construimosla paradoja con los números 2, 3 y 5 veremos mejor la trampa que encierra (la diagonal del rectángulo no es una línea, sino un delgado cuadrilátero cuya área vale una unidad).
Sean a, b, c tres términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, se tiene que a + b = c y b2 = a · c +1, o b2 = a · c -1
Consideremos una sucesión de términos no necesariamente enteros, en la que cada término seobtenga mediante la suma de los dos anteriores. La pregunta es: ¿se podrán dar las condiciones a + b = c y b2 = a · c?. Es decir, ¿se podrá cortar el cuadrado de tal forma que al disponer las piezas del rectángulo tenga el área igual al cuadrado?.
Si despejamos c en ambas igualdades e igualamos, tenemos la ecuación b2 – ab – a2 = 0.Cuya solución positiva es [pic]
¡Aparece el número áureo!
La únicasucesión de Fibonacci en la que cada término es el producto de sus términos adyacentes es la sucesión 1,N , 1+N, 1+2N, 2+3N,….. o, equivalentemente, la PG de razón 1,N,N 2,N 3,N 4,…
Término general de algunas sucesiones recurrentes:
Veamos que, en determinados casos particulares, se puede averiguar el término general de una sucesión recurrente.
Ecuación característica de una sucesiónrecurrente
Si una relación de recurrencia es del tipo: [pic]
siendo los ci números reales, Se denomina ecuación característica de la relación a la expresión:
[pic]
Está claro que la sucesión [pic]verifica la relación de recurrencia sii b es raíz de la ecuación característica. En general, si la ecuación tiene [pic]raíces no nulas y distintas, entonces cualquier sucesión del tipo:
[pic], donde las…
