Unidad 2. Relaciones.
2.1 Introducción.
Concepto de relación. Sean conjuntos. Una relación de A en B es un subconjunto de .
Es decir, R es una relación de
Si R es una relación y , decimos que esta relacionada con b.
Ejemplo:
Sean . Los siguientes conjuntos son ejemplos de relaciones de A en B.
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Parael caso especial en que R sea una relación de con, , decimos que, R es una relación en A. Destacaremos este hecho en la siguiente definición.
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2.2 Propiedades de las relaciones.
2.3.1 Sobre un conjunto.
Relaciones entre conjuntos |
Hay dos relaciones importantes que se tienen entreconjuntos: contenencia e igualdadDefinición: 1.2.1 Contenencia entre conjuntos. Sean A y B conjuntos. A es unsubconjuntode Bsi cada elemento de A es un elemento de B. Si A es subconjunto de B escribimos . En símbolos tenemos que, si y solamente si Cuando A es subconjunto de B se dice también que, A está contenido en B o que, B contiene a A. Ejemplo: * ** * * El conjunto P de enteros pares es un subconjunto de los enteros. Es decir, * En el sistema de los números reales se tienen las siguientes contenencias importantes: Si A no está contenido en, es decir, si hay un elemento que está en A y no está en B, escribimos .Ejemplo: * * El conjunto R de números primos no estácontenido en el conjunto M de números naturales impares. Es decir * De acuerdo a la definición de contenencia, cuando la implicación es verdadera. Utilizaremos este hecho en la demostración de las siguientes propiedades sobre contenencia entre conjuntos.Teorema 1.2.1 Para cualquier conjunto A, se tiene que:(i) (ii) (iii) Demostración: * Como no tiene elementos, laproposición es falsa. Por lo tanto la implicación es verdadera 1. * Puesto que todo elemento pertenece a U, la proposición es verdadera. Por lo tanto la implicación es verdadera 2. * es verdadera3.Definición: 1.2.2 Igualdad entre conjuntos. Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos,es decir,Ejemplo: * * * Cuandose quiere demostrar que A = B teniendo en cuenta la definición anterior, debemos probar que i) y ii) .Ilustraremos esta forma de mostrar la igualdad entre dos conjuntos en la demostración de las siguientes propiedades sobre igualdad entre conjuntos.Teorema 1.2.2 Dados A, B y C conjuntos, se tiene que: * A =A. * . * . Demostración:(i) .Esto implicaque:..Ejercicio: * Demostrar las partes (i) y (iii) del teorema anterior. Negando la definición de igualdad entre conjuntos, deducimos que dos conjuntos no son iguales si no tienen los mismos elementos: 5 Es decir,Ejemplo: * * * Decimos que A es subconjunto propio de B si .Utilizamos la notación para indicar que A es subconjunto propio de B.Por ejemplo,.Contenencia e igualdad entre conjuntos definidos por comprensiónEn el caso que los conjuntos estén descritos por comprensión, las relaciones de contenencia e igualdad se pueden expresar en términos de los predicados que definen los conjuntos.Sean,Como:Entonces,Por lo tanto,Como:Entonces,.En otros términos,Por lo tanto,Ejemplo: * * ** * |
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Relación en un conjunto. Sea A un conjunto. Una relación en A es un subconjunto de .Es decir,
Ejemplo:
Sea . Los siguientes conjuntos son relaciones en A.
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Obsérvese que para dos conjuntos cualesquiera , los conjuntos y son…
