Ecuación lineal con n incógnitas
ES cualquier expresión del tipo:a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b, donde ai, b [pic][pic]. Los valores ai se denominan coeficientes, b término independiente y los valores xiincógnitas.
Solución de una ecuación lineal
Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de la ecuación.
Dadala ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella:
(1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4).
Ecuaciones equivalentes
Son aquellas que tienen la misma solución.
Sistemas de ecuaciones lineales
Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:
a11x1 + a12x2 + …………………+a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + …………………+a2nxn = b2………………………………………………………
am1x1 + am2x2 + …………………+amnxn = bm
• xi son las incógnitas, (i = 1,2,…,n).
• aij son los coeficientes, (i = 1,2,…,m) (j = 1,2,…,n).
• bi son los términos independientes, (i = 1,2,…,m).
• m, n [pic][pic]; m > n, ó, m = n, ó, m < n.
•Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.
• aij y b i [pic][pic].
• Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, …
• Cuando bi = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.
Solución de un sistema
Es cada conjunto de valores que satisfacea todas las ecuaciones.
Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen la misma solución, aunque tengan distinto número de ecuaciones.
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:
Todos los coeficientes son ceros.
Dos filas son iguales.
Una fila es proporcional a otra.
Una fila es combinaciónlineal de otras.
Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones
1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
3º Sisumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.
5º Si en un sistema se cambia el orden delas ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.
Atendiendo al número de sus soluciones
Incompatible
No tiene solución.
Compatible
Tiene solución.
Compatible determinado
Solución única.
Compatible indeterminado
Infinitas soluciones.
Sistemas de ecuaciones escalonadosSon aquellos en que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.
x + y + z = 3
y + 2 z = ?1
z = ?1
Si nos vamos a la 3a ecuación, tenemos que z = ?1.
Sustituyendo su valor en la 2a obtenemos que y = 1.
Y sustituyendo en la 1a los valores anteriores tenemos que x= 3.
También es un sistema escalonado:x + y + z = 4
y + z = 2
Como en este caso tenemos más incógnitas que ecuaciones, tomaremos una de las incógnitas (por ejemplo la z) y la pasaremos al segundo miembro.
x + y + z = 3
y = 2 – ?
Consideraremos z= ? , siendo ? un parámetro que tomara cualquier valor real.
x + y + z = 3
y = 2 – z
Las soluciones…
