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Funciones Logarítmicas Definición. Si a es cualquier número positivo distinto de 1, la función logarítmica de base a es la inversa de la función exponencial de base a y escribimos y = loga x ?ay = x (1)
En consecuencia se cumple que : log a (x) (2) a =x y
(3) log
a
(a x) = x.
Muchas veces, cuando no hay confusión, escribiremos y =log a x (sin los paréntesis) en lugar de loga(x). La equivalencia (1) nos dice que log a(x) es el exponente y, al cual debe elevar la base a para obtener x. Como a1 = a y
a
a0 = 1, se tiene que: a=1 y (5) log
a
(4) log
1=0Propiedades de la Función Logaritmo La función logaritmo y = loga x tiene las siguientes propiedades: 1. Dominio: R +, Rango: R. 2. Es biyectiva. 3. Es creciente si a > 1 y es decreciente si a < 1. 4. Lagráfica de y = log a x corta al eje X en (1, 0). No corta al eje Y. 13 Gráfica de la Función Logaritmo en base a a>1
0+
0 0, v > 0 y n es un número real, entonces: 1. log a (u .v) = log au + log a v 2. log 3. log
a a
un = n. log
?u? ? ? = log ?v?
a
u – log a v
a
u.
Demostración 2. Si x = log y = log a v, entonces ax u u = ax , v = ay ; además = y =ax ? y . v a
au e
Luego
log log
a
a
?u? ? ? = log ?v?
?u? ? ? =x?y ?v?
a
u ? log a v
La Función Logaritmo Natural La función Logaritmo Natural es la función logaritmo con base e. A estafunción se le denota por y = ln x. O sea, ln x = log e x
La función y = ln x es la inversa de la función y = ex. Por lo tanto: (1) e
ln x
=x
y
?
(2) ln e e
y
x
=x
o,equivalentemente, (3) y = ln x
=x
Como e1 = e, tenemos que ln e = 1. Como la función exponencial natural y logaritmo natural son funciones inversas, la gráfica de y = ln x es sólo la gráfica de y = exreflejada con respecto a la recta y = x.
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y=x y = ex y = ln x
Además el dominio de la función logaritmo natural es (0,+ ? ) y su rango es (– ?, +?).
Se tiene que a) x lim? lnx = + ? ?+…
