TRABAJO DE ALGEBRA LINEAL
TRANSFORMACIONES LINEALES
PRESENTADO POR:
HERNANDEZ TRUJILLOS ANDREINA
MENDOZA ARAUJO ANA MARIA
RODRIGUEZ SUAREZ ARIANMY
VILLAZON ALFARO YELITZA
PRESENTADO A:
LIC. JHONNY RIVERA
FACULTAD DE INGENIERIAS
INGENIERIA AMBIENTAL Y SANITARIA
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
NOVIEMBRE 2009
TRANSFORMACIONES LINEALES
DEFINICION:
Funciones que transforman omapean un espacio vectorial V en un espacio vectorial W. este tipo de funciones se denota por
T: V ? W
Para estas funciones se utilizan la notación estándar de ellas por ejemplo V se llama dominio de T. si v esta en V y w esta en W de modo que
T (v) = w
Entonces w se llama imagen de v bajo T. el conjunto de todas las imágenes de los vectores en V se llama contradominio de T y el conjunto de detodos los v tales que T (v) = w se llama preimagen de w.
V: Dominio
Contradominio
T: V-(W W
Observación: para un vector v= (v= (v1, v2,……, vn) en Rn, seria técnicamente correcto usar un doble paréntesis para denotar T (v) como
T (v)=T((v1, v2,…..vn)). Por conveniencia, sin embargo, se elimina un conjunto de paréntesis, quedando
T (v)= T(v1, v2,……vn)
DEFINICION DETRASNFORMACION LINEAL
Sean V y W espacios vectoriales. La función T: V( W se llama transformación lineal de V en W si las dos propiedades siguientes son verdaderas para todo u y v en V y para cualquier escala c.
1. T (u + v)= T (u) + T (v)
2. T (cu)= cT (u)
Se dice que una transformación lineal conserva operaciones porque se obtiene el mismo resultado si las operaciones de suma ymultiplicación escalar se efectúen antes o después de que aplique la transformación lineal, aunque se utilizan los mismos símbolos para denotar las operaciones vectoriales tanto en V como W, debe observarse que las operaciones pueden ser diferentes, como se indica en el siguiente diagrama: [pic]
T(u + v) = T(u) + T(v) T(cu) = cT(u)
COMPROBACION DE UNATRANSFORMACION LINEAL DE R2 EN R2
Demostrar que la función dada es una transformación lineal de R2 en R2
T (v1, v2) = (v1 – v2, v1 + 2v2)
SOLUCION: para demostrar que la función T es una transformación lineal es necesario demostrar que conserva la suma y la multiplicación escalar. Para esto, sean v= (v1, v2) y u= (u1, u2) dos vectores en R2 y sea c cualquier numero real. Entonces, con laspropiedades de suma vectorial y de multiplicación escalar, se tiene lo siguiente:
1. Dado que u + v = (u1, u2)+ (v1, v2)= (u1 + v1, u2 + v2), se tiene
T (u + v) = T (u1 + v1, u2 + v2)
= ((u1 + v1) – (u2 + v2), (u1 + v1) + 2(u2 + v2))
= ((u1 – u2) + (v1 – v2), (u1 + 2 u2) + (v1 + 2 v2))
= (u1 – u2, u1 + 2 u2) +(v1 – v2, v1 + 2v2)
= T(u) + T(v)
2. Dado que cu = c(u1, u2) = (cu1, cu2), se tiene
T (cu) = T (cu1, cu2) = (cu1 – cu2, cu1 + 2cu2)
= c (u1 – u2, u1 + 2u2)
= cT (u)
Por consiguiente, T es una transformación lineal.
OBRSERVACION: Para una transformación lineal T: V ( V es un espacio vectorial en si mismo (como por ejemplo 2) se llama operador lineal.La mayoría de las funciones comunes estudiadas en Cálculo no son transformaciones lineales.
Ejemplo: Algunas Funciones que No son Transformaciones Lineales
1. f(x) = sen x no es una transformación lineal de R en R, porque en general
sen (x1 – x2) ? sen x1 + sen x2
Por ejemplo, sen [(? /2) + (? /3)] ? sen (? /2) + sen (? /3)
b) f(x) = x2 no es una transformacionlineal de R en R, porque en general
(x 1 + x2)2 ? x12 + x22
Por ejemplo, (1 + 2)2 ? 12 + 22
2. f(x) = x + 1 no es una transformación lineal de R en R porque
f(x 1 + x2 ) = x1 + x2 + 1
En tanto que
f(x 1)+f( x2 ) = (x1 + 1) + ( x2 + 1) = x1 + x2 + 2
Asi, f(x 1 + x2 ) ? f(x 1)+ f( x2)
OBSERVACION: la función del ejemplo anterior indica dos usos del…
