La catenaria es la representación gráfica de una función hiperbólica (coseno hiperbólico), por lo tanto consideramos realizar antes un análisis de los diferentes comportamientos de las funcioneshiperbólicas para conocer ampliamente a dicha “curva natural”.
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
La función exponencial y=ex permite definir otras funciones muy importantes en matemática llamadas funcioneshiperbólicas.
Estas funciones hiperbólicas son semejantes a las funciones trigonométricas ordinarias, ya que se relacionan entre sí mediante reglas muy parecidas a las reglas que corresponden a lasfunciones cos(x) y sen(x) (identidades trigonométricas).
Así como cos(x) y sen(x) pueden identificarse con el punto (x, y) en el circulo unitario x²+y²=1, así también las funciones ch(x) y sh(x) puedenidentificarse con las coordenadas de un punto (x, y) sobre la hipérbola unitaria x²-y²=1.
Círculo Unitario
x²+y²=1
Hipérbola Unitaria
x²-y²=1
GRÁFICA, DOMINIO E IMÁGEN DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS.Seno hiperbólico y su inverso, la cosecante hiperbólica
Coseno hiperbólico y su inverso, la secante hiperbólica
Tangente hiperbólica y su inverso, la cotangente hiperbólica
IDENTIDADES DELAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
a) Sumando las funciones dadas se obtiene:
ch(x) + sh(x) = ex
b) Restando la segunda de la primera se obtiene:
ch(x) – sh(x) = e-x
c) Multiplicando estas dosúltimas expresiones resulta:
ch2(x) – sh2(x) = 1
Relación fundamental que nos permite calcular cada función en término de la otra.
chx=+sh2x+1 “y” shx=±ch2x-1
d) Las funcioneshiperbólicas restantes se definen en términos de sh(x) y ch(x) como sigue:
Tangente Cotangente
SecanteCosecante
LA CATENARIA
Ejemplo de Catenaria dentro de un sistema de coordenadas
La catenaria es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de…
