INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRALES DEFINIDAS.
1.-INTEGRAL DEFINIDA.
Sea y = ƒ(x) una función continua en un intervalo [a, b].
Nota.- Para simplificar la demostración se considera positiva, ƒ(x) > 0, en todo punto del intervalo.
Se divide el intervalo [a, b] en “n” subintervalos (no necesariamente de la misma amplitud) por los puntos xo= a, x1, x2, …, x n-1, xn = b así se dispone de losintervalos cerrados [x0, x1], [x1, x2], …, [xn-1, xn] de amplitudes respectivas h1= x1- xo, h2 = x2 – x1, …, hn = xn – xn-1
X
Y
y = ƒ(x)
Ahora bien, como la función es contínua en todo el intervalo [a, b], lo es también en cada uno de los subintervalos, por lo que en cada uno de ellos alcanza un mínimo absoluto, m1,m2, …. , mn, y un máximo absoluto, M1, M2, ….. , Mn. Trazandoparalelas al eje OY por cada punto y paralelas al eje OX por los mínimos absolutos, mi, se obtienen “n” rectángulos, denominados rectángulos interiores (ver figura de la izquierda). La suma de sus áreas es SI = h1 m1+ h2 m2+ … + hn mn=
? hk mk
k =1
n
(1)
De forma similar, trazando paralelas al eje OX por los máximos absolutos, Mi, se obtienen “n” rectángulos, llamados rectángulosexteriores (ver figura de la derecha). La suma de sus áreas es SE= h1M1+ h2M2+ … + hnMn= ? hk M k
k =1 n
(2)
Y
y = ƒ (x ) mi
SI
Y
y = ƒ(x)
Mi
SE
X
hi
hi
X
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consecuencia inmediata de las figuras, es SI ? S E Ahora bien, si se considerasen otros nuevos puntos en el intervalo [a, b] se tendrían otros subintervalos y otros valores de lassumas de las áreas de los rectángulos interiores y exteriores, S’I y S’E. Se repite el proceso eligiendo los puntos cada vez más próximos entre sí. Así se formarían dos sucesiones de números reales, las de: – La suma de las áreas de los rectángulos interiores: SI, S’I, S”I, …, y la – La suma de las áreas de los rectángulos exteriores: SE, S’E, S”E, …, Simbolizando por m y M al mínimo y máximorespectivamente, se tiene, en cada tipo de subdivisión de donde mh1+ mh2+ … + mhn ? m1h1+ m2h2+ … + mnhn ? absoluto de ƒ(x) en [a, b],
m ? m1 ? M1 ? M; m ? m2 ? M2 ? M ; . . . ; m ? mn? Mn ? M
? M1h1+ M2h2+ … + Mnhn ? Mh1+ Mh2+ … + Mhn
Como h1+ h2+ … + hn= b – a mh1+ mh2+ … + mhn = m (h1+h2+ … + hn) = m (b – a) m1h1+ m2h2+ … + mnhn = SI M1h1+ M2h2+ … + Mnhn= SE Porconsiguiente:
m ? (b ? a ) ? S I + S E ? M ? (b ? a )
(1) (2)
Mh1+ Mh2+ … + Mhn= M (h1+h2+ … + hn) = M (b – a)
(3)
que expresan cualquiera que sea la subdivisión: – La sucesión de la suma de las áreas de los rectángulos interiores, SI, S’I, S”I, …, está acotada inferiormente. – La sucesión de la suma de las áreas de los rectángulos exteriores, SE, S’E, S”E, …, está acotadasuperiormente. – Dado que SI ? SE, ambas sumas están acotadas. Ahora bien, restando (2) y (1), miembro a miembro: SE- SI= M1h1+ M2h2+ … + Mnhn- m1h1- m2h2- … – mnhn SE- SI= (M1- m1) h1+ (M2- m2) h2+ … + (Mn- mn) hn
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Dado que se ha supuesto que ƒ(x) es continua en [a, b], si se consideran los subintervalos lo suficientemente pequeños, las diferencias Mi – mipueden ser tan pequeñas como se desean. Así si se toman M1- m1<
?, M2- m2< ?, ..., Mn- mn< ? ?
? SE- SI= h1? + h2? + … + hn? = (h1+h2+ … + hn) ? = (b – a) ?
Luego para un ? lo suficientemente pequeño, SE- SI < (b - a) · ? se puede hacer tan pequeño como se quiera. Simbolizando por S I al extremo superior de la sucesión SI, S'I, S''I, ... y por extremo inferior de la sucesión SE, S'E,S''E, ... como lím (SE- SI) = 0 se cumple
SE
al
SE= SI
(4) De lo que se saca la conclusión que el extremo superior de las sumas de las áreas de los rectángulos interiores y el extremo inferior de las sumas de las áreas de los rectángulos exteriores coinciden. Representando por S el área del trapecio mixtilíneo de la figura, delimitado por ƒ(x), el intervalo [a, b] y las paralelas al eje OX…
