Integración
Introducción
Una integral definida tiene la forma,
[pic],
Donde a, b son el límite inferior y superior de integración, respectivamente, f(x) es la función a integrar y dx es la diferencial de x.
La integral, geométricamente, representa el área delimitada por el lugar geométrico de la función, f(x), el eje de la abscisas, y la dos rectas verticales x = a y x = b, verla figura,
[pic]
Cuando, la integral definida es muy difícil o de plano imposible de resolver, existen estrategias que permiten tener una solución aproximada. La integral definida permite que, geométricamente, se determine una aproximación a través de trapecios. Otra forma de obtener una solución aproximada a la integral definida es tratar de ajustar un polinomio al lugar geométrico de lafunción a integrar, y así en vez de integrar la función f(x), se integra el polinomio Pn(x),
[pic].
Al igual que la integral, la derivada tiene un significado geométrico que permite una aproximación numérica. Así, la derivada representa, geométricamente, la pendiente de una recta tangente,
[pic]
La recta es tangente al lugar geométrico de la función f(x). Toman dos puntos alrededor del punto detangencia es posible representar la pendiente a través de,
[pic],
la siguiente gráfica muestra la idea,
[pic]
La idea anterior puede retomarse como base para determinar una aproximación a la derivada de una función, junto con estrategias que mejoren dicha aproximación.
Métodos de Integración Numérica
Método del trapecio
Para aproximar la solución de una integral definida se puedeutilizar la siguiente estrategia; como la integral definida representa el área bajo la curva, entonces es posible aproximar dicha área a través de un trapecio (n = 1), ver la figura,
[pic]
por lo que, una aproximación a la integral definida estará dada por,
[pic].
Donde la expresión del lado derecho es la formula para el área del trapecio. Sin embargo es posible mejorar esta aproximacióntomando dos trapecios (n = 2), y para ello se divide el intervalo de integración [a, b], a la mitad para tener, [pic], ver la figura,
[pic]
Así, que la nueva aproximación a la integral definida será,
[pic],
Como [pic], entonces es posible factorizar los términos, [pic] y [pic], para tener,
[pic],
Donde h se obtiene al dividir el intervalo de integración a la mitad,[pic], y x1 seobtiene al sumarle al límite inferior una vez h, [pic].
La idea es clara, por lo que si se utilizan tres trapecios la aproximación a la integral definida mejora.
Utilizando tres trapecios (n = 3) se tiene,
[pic]
[pic]
Como [pic], entonces se factorizan los términos [pic], [pic] y [pic] para dar,
[pic]
Donde h se obtiene al dividir el intervalo de integración entre el número detrapecios, [pic], x1 se obtiene al sumarle al límite inferior una vez h, [pic], y x2 se obtiene al sumarle al límite inferior dos veces h, [pic]. Esta estrategia se puede generalizar para n trapecios.
Siguiendo la regularidad observada anteriormente la aproximación a la integral de finida utilizando n trapecios quedará,
[pic],
donde [pic],
[pic],
[pic],
[pic]
[pic].
Utilizando lanotación sigma se puede rescribir en la forma,
[pic],
por lo que ahora, [pic], y [pic].
El pseudocódigo es el siguiente,
Inicio
Leer(a, b, n)
[pic]
fa = f(a)
fb = f(b)
s = 0
desde i = 1 hasta n – 1 hacer
x = a + i h
s = s + f(x)
[pic]( fa + 2 s + fb)
escribir(I)
fin
El siguiente ejercicio ejemplifica la aplicación del método del trapecio ypermite comparar la solución numérica con la solución analítica.
La velocidad de caída de un paracaidista esta dada por la siguiente expresión,
[pic],
si el paracaidista tiene una masa, m = 68.1 kg, y su coeficiente de arrastre es, c = 12.5 kg / s y considerando a la aceleración de la gravedad como, g = 9.8 m / s2, la función velocidad será,
[pic].
Determinar la distancia, s, que…
