Esfera
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a navegación, búsqueda
[pic]
[pic]
Una de la esferas más perfectas creadas por el ser humano, difiere de la esfera ideal en un espesor menor al tamaño de 40 átomos y refracta la imagen de Albert Einstein.
Una esfera (del griego ??????, «sfaira») es la superficie formada por todos los puntos del espacio tales que la distancia (llamadaradio) a un punto determinado, denominado centro, es siempre la misma. También se refiere al sólido cuyo volumen se halla contenido en la superficie anterior; con este significado se emplea específicamente la palabra bola.
La esfera es la figura geométrica que para igual volumen presenta la superficie externa menor. Esta propiedad es la causa de su omnipresencia en el mundo físico: en la superficiede una gota de un líquido inmerso en un ambiente gaseoso o también líquido (pero con líquidos que no se pueden mezclar), existen fuerzas superficiales que deformarán la gota hasta encontrar el valor mínimo de tensión en todos los puntos de la misma, y este mínimo corresponde a una esfera, en ausencia de toda perturbación exterior. Se genera haciendo girar un semicírculo alrededor de un diámetro.|Tabla de contenidos |
|[ocultar] |
|1 Superficie y Volumen |
|2 Ecuación |
|3 Secciones |
|4 Localizarse sobre la esfera|
|5 Esferas en dimensiones superiores |
|6 Esferas en otras métricas |
|7 Véase también |
|8 Enlaces externos |
[pic][editar] Superficie y Volumen
[pic]
La superficie de una esfera de radio, r, es:
[pic]
El volumen quecontiene (acota) una esfera de radio, r, es:
[pic]
Si se consideran la superficie y el volumen como funciones S(r) y V(r) del radio, entonces se nota que la superficie es la derivada del volumen, y éste es una primitiva (la que verifica V(0) = 0) de la superficie. Este hecho no es casualidad, pues se puede descomponer el volumen en capas de espesor arbitrariamente pequeño dr, y los volúmenes deestas capas se aproximan a:
[pic]
cuando dr tiende hacia cero.
Sumando los volúmenes (infinitesimales) de todas estas capas (en cantidad infinita) cuando el radio r varía de cero a R da por definición la integral siguiente:
[pic]
[editar] Ecuación
En un sistema de coordenadas ortonormado (ortogonal y unitario), la ecuación de la esfera unitaria (de radio 1) centrada en elorigen es:
[pic]
Esta ecuación se obtiene considerando el punto M(x, y, z) de la esfera y diciendo que la norma del vector OM es igual a 1.
Más generalmente, las esferas de radio r, de centro ?(a, b, c) tiene como ecuación:
[pic]
La ecuación del plano tangente en el punto M(x’, y’, z’) se obtiene mediante el desdoblamiento de las variables: En el caso de la esfera unitaria:[pic]
y en el segundo ejemplo:
[pic]
[editar] Secciones
[pic]
[pic]
Sección de una esfera por un plano
La intersección de un plano y una esfera es un círculo (eventualmente reducido a un punto). La esfera es la única superficie del espacio que tiene esta propiedad.
Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, r. En este caso, lacircunferencia puede llamarse ecuador o gran círculo.
Si la distancia d entre el plano y el centro es inferior al radio r de la esfera entonces el radio de la sección es, aplicando el teorema de Pitágoras:
[pic]
[pic]
[pic]
Intersección de esferas
Por otra parte, dos esferas se intersectan si:
[pic]
y
[pic]
(son las desigualdades triangulares, y equivalen al que…
