Integrales dobles en coordenadas polares
Mateo Sacaquirín García
Las integrales dobles de forma polar se las desarrolla de esta forma debido a que al cambiar de coordenadas facilita la manera deintegrar la región R.
La integral doble maneja los mismos conceptos de partición de n rectángulos que se daba al integrar regiones en forma cartesiana.
En coordenadas polares se cuenta con un “rectángulopolar”, cuyos lados se encuentran definidos por el radio r y el ángulo ?.
Se tiene a R como una rejilla limitada por los rayos ?= ? y ?= ? y las circunferencias de lado r = a y r =b.
Se determina a? como la partición de la región en triángulos curvados y la norma de partición.
Si consideramos a n como la cantidad de subregiones y ?iA como el área del i – ésimolim rectángulo curvado. Manejamos elhecho de que el área de la i – ésima subregión es la diferencia que hay entre las áreas de dos sectores circulares:
?iA=12ri2 ?i-?i-1- 12ri-12 ?i-?i-1
?iA=12ri-ri-1ri+ri-1?i-?i-1
Sustituyendo ri =12ri-ri-1, ?ir= ri-ri-1, ?i?= ?i-?i-1
?iA= ri ?ir ?i?
Contabilizamos los rectángulos que se tienen dentro de R y procedemos a denominar a sus áreas como:
?A1 , ?A2 ,…..?An , siendo ri,?icualquier punto en el rectángulo polar cuya área es ?Ai ,
Se obtiene la suma:
i=1nf(ri,?i) ?iA , al sustituir
inf(ri, ?i)ri ?ir ?i?
Al ser f continua en la región R, el límite de esta suma al ir ?tendiendo a 0 se puede considerar como la doble integral de f en R.
lim??0i=1nf(ri,?i) ?iA= Rf(r, ?)dA
lim??0i=1nf(ri,?i) ri ?ir ?i?= Rfr, ?rdrd?
La integral doble en coordenadas polares puededefinirse en regiones cerradas por lo que sus límites a considerar serán:
?=?g2(? ?=? g2(?)fr, ?r dr d?
Pudiendo considerarse esta expresión como el volumen de un sólido.
Ejercicios propuestos:
En losejercicios cambie la integral cartesiana por una integral polar equivalente. Luego evalúe la integral polar.
5.-
-a a2-x2 a a2-x2 dy dx…
