Calculo integral

{draw:g}
INSTITUTO TECNOLOGICO DE TAPACHULA
CALCULO INTEGRAL
UNIDAD 1.-INTEGRAL DEFINIDA
1.1.- MEDICIÓN APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS:
Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras.
= (?x1y1+?x2y2+?x3y3+?x4y4……………+?XnYn)
*1.2 NOTACIÓN SUMATORIA O SIGMA ({draw:frame} {draw:frame} *)
Una integral puede ser indefinida o definida. Posteriormente se verá que la integral definida se define como el límite de una cierta clase de adición o suma. Por lo tanto, resulta útil introducir una notación especial que permita escribir una suma o sumatoria de constantes, tal como
1 + 2 + 3 + ……. + n,
22 + 42 + 62 +……… + (2n)2, y
{draw:frame} {draw:frame}+ {draw:frame} {draw:frame} + {draw:frame} {draw:frame} +………. {draw:frame} {draw:frame}
de manera concisa.
Sea ak un número real que depende de un entero k. Se denota la suma o sumatoria
a1 + a2 + a3 + …….. an
por el símbolo
{draw:frame} {draw:frame} (5.11)
Como se utiliza {draw:frame} {draw:frame} , la letra griega sigma mayúscula, a (5.11) se le llama notación de sumatoria onotación con sigma. A la variable k se le denomina índice sumatorio. Así que, {draw:frame} {draw:frame} ak es la sumatoria de todos los números de la forma ak, cuando k toma los valores sucesivos k=1, k=2, ……, y termina con k=n.
Los índices inferior y superior de la suma han de ser constantes respecto del índice de suma. Sin embargo, el límite inferior no tiene por que ser 1. Cualquier enteromenor o igual que el límite superior es lícito. Por ejemplo:
{draw:frame} {draw:frame} k = 23 + 24 + 25 y {draw:frame} {draw:frame} k = 20 + 21 + 22 + 23 + 24+ 25.
Sin embargo, en una discusión general se supondrá siempre que el índice sumatorio empieza en k=1. Esta suposición es más bien por conveniencia que por su necesidad.
Al índice sumatorio se le llama a menudo variable ficticia,puesto que el símbolo en sí no es importante; los valores enteros sucesivos del índice y la sumatoria correspondiente son lo importante. En general,
{draw:frame} {draw:frame} = {draw:frame} {draw:frame} = {draw:frame} {draw:frame} = {draw:frame} {draw:frame}
y así sucesivamente.
{draw:frame}
Ejemplo.
= 2 + 5 + 8 + 11 + 14.
1.3 SUMAS DE RIEMANN
Se conoce como sumatorias (o sumas) deRiemann en honor al famoso matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866).
En la siguiente figura en el caso de los productos fxk*?xk son números que son los negativos de las áreas de rectángulos trazados por debajo del eje x.
EJEMPLO
Calcular la suma de Riemann para fx=x2-4 en -2,3 con cinco subintervalos determinados por
Y
Solución. En la siguiente recta serepresentan los puntos en el intervalo.
Por lo tanto, la sumatoria de Riemann es
=-332+-631612+-1541+-7434+9454
= -27932 ? -8.72
1.4 DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA.
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.{draw:frame}
es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.
La palabra “integral” también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integralestratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una…