Universidad Michoacana De San Nicolás De Hidalgo Faculta De Químico Farmacobiología.
Teorema Del Valor Medio Y Sus Aplicaciones.
Matemáticas I Calculo Diferencial
Q.F.B. Norma García Montañez.
19/01/2009
También llamado Teorema de los Incrementos Finitos.Es uno de los teoremas más importantes en el Cálculo Diferencial. Es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Puede utilizarse para resolver problemas matemáticos y para demostrar otros teoremas.
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Teorema del valor medio y sus aplicaciones.Objetivo especifico:
Establecer y comprender el Teorema del valor medio a partir de un lenguaje geométrico.
Acrecentar la capacidad de abstracción, razonamiento lógico y reflexión crítica.
Aplicar el teorema del valor medio en el trazado e interpretación de la grafica de una función para aplicaciones subsecuentes.
Aplicar el Teorema del valor medio en la resolución de problemas prácticos y suimportancia para demostrar otros teoremas.
Ser capaz de establecer la solución de problemas de optimización con las técnicas propias del cálculo diferencial.
Valorar las posibilidades que brinda al cálculo diferencial para modelar y resolver problemas prácticos.
Justificación:
El programa de Matemáticas I (calculo diferencial) desarrolla el tema: Teorema del valor medio, por que requiereexplicar sus fundamentos y aplicaciones para que el estudiante adquiera la habilidad en el manejo de esta técnica y comprenda como se aplica la derivada en la resolución de problemas prácticos de fenómenos biológicos, físicos y de otras ciencias cuya interpretación y solución requiere del calculo diferencial.
Teorema del Valor Medio.
• También llamado Teorema de los Incrementos Finitos. Es unode los teoremas más importantes en el Cálculo Diferencial.
• Es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo.
• Puede utilizarse para resolver problemas matemáticos y para demostrar otros teoremas.
• El Teorema del valor medio establece que:
o Sea f una función continua en algún intervalo cerrado [a, b], y derivable en (a, b). Entonces existe al menos un punto C en el intervaloabierto (a,b) tal que:
o Interpretando la formula geométricamente, nos dice que una función continua tiene una tangente no vertical en todo punto comprendido entre A y B, entonces hay por lo menos un punto C en la grafica comprendida en el arco A B, en que la tangente representada por f´(c) es paralela a la cuerda AB. Esto significa que ambas pendientes serán coincidentes.
o El Teoremadel valor medio puede no ser cierto si la función llega ha ser discontinua, o si la pendiente se anula dentro del intervalo
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Teorema del Valor Medio.
Sea f una función continua en algún intervalo cerrado [a,b], y derivable en (a,b). Entonces existe al menos un punto C en el intervalo abierto (a,b) tal que:
Interpretación y Demostración Geométrica del Teorema.
En el lenguajegeométrico el teorema del Valor Medio es fácil de establecer y comprender.
• En primer lugar el teorema expresa que si una función es continua.
• Derivable en un intervalo y determinamos dentro de él, dos puntos A(a, f(a)) y B (b, f (b), entonces habrá como mínimo un punto C intermedio en el que la tangente a la curva, es paralela a la cuerda que une los puntos A y B.Es la pendiente (m) que forma la cuerda que pasa por los puntos A y B de la curva.
Es la pendiente (m) que forma la recta tangente a la curva en el punto C.
• Geométricamente:
• Así pues concluimos que:
Y por tanto:
• Mediante el siguiente ejemplo vamos a demostrar mas detalladamente en que consiste el teorema.
Hallar el…
