Matriz (matemática)
En matemáticas, una matriz es una tabla de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría dematrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
La matriz
Es una matriz 4×3. El elemento A[2,3] o a2,3 es 7. La matriz
es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.
Suma o adición
Dadas las matrices m-por-n ,A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumandolos elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:
Propiedades
Asociativa
Dadas las matrices m×n A, B y C
A + (B + C) = (A + B) + C
Conmutativa
Dadas las matrices m×n A y B
A + B = B + A
Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 + A = A
Existencia de matriz opuesta
congr-A = [-aij]
A + (-A) = 0
Producto por un escalar
Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).
Producto
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p,entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada por:
para cada par i y j.
Por ejemplo:
Propiedades
Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).
Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.
Propiedad distributiva porla izquierda: C(A + B) = CA + CB.
En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0 , No necesariamente A ó B son matrices nulas
El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C
El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ? BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podríaproducir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas.
Aplicaciones lineales
Las matrices pueden representar convenientemente aplicaciones lineales (también conocidas como “transformaciones lineales”) entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. Así, si ?n es el espacio euclídeo n-dimensional cuyosvectores se pueden representar como vectores columna (matrices n-por-1), para cada aplicación lineal f : ?n ? ?m existe una única matriz A m por n de tal forma que:
para cada vector x de ?n.
Se dice que la matriz A “representa” la aplicación lineal f, o que A es la matriz coordenada de f.
El producto de matrices claramente corresponde a la composición de las aplicaciones. Si la matriz k por m Brepresenta otra aplicación lineal g : ?m ? ?k, entonces la composición g o f se representa por BA:
Esto se desprende de la mencionada propiedad asociativa del producto de matrices.
Más en general, una aplicación lineal de un espacio vectorial n-dimensional en otro espacio vectorial m-dimensional (no necesariamente ?n) se representa por una matriz m por n, a condición de que se haya elegido una basepara cada uno de ellos.
Rango
El rango de una matriz A es la dimensión de la imagen de la aplicación lineal representada por A, que coincide con la dimensión de los espacios vectoriales generados por las filas o columnas de A. También puede ser definido sin referencia al álgebra lineal de la siguiente manera: el rango de una matriz m por n A es el más pequeño número k de tal manera que A puede…
